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Lógica proposicional en la inteligencia artificial










  1. PRESENTACIÓN DEL TEMA

    1. Introducción

La lógica proposicional es una rama de la lógica que permite representar hechos y/o expresiones del mundo real en un lenguaje representativo del conocimiento mediante propiedades elementales para estudiar a través de proposiciones o sentencias lógicas sus posibles evaluaciones de verdad y en el caso ideal su nivel absoluto de verdad

La lógica proposicional toma un rol muy importante en el desarrollo de la inteligencia artificial.

1.2 HIPÓTESIS DE LA REPRESENTACIÓN DEL CONOCIMIENTO

Una visión muy frecuente (Aunque es controversial) entre los investigadores de la Inteligencia Artificial es que para que un sistema sea "artificial inteligente," debe contener un Componente que se puede entender como lingüístico (es decir, que puede ser expresado en algún lenguaje)
tales que:
- Este componente contiene el conocimiento del sistema, y
- Este componente conduce el comportamiento inteligente del sistema

II AGENTES BASADOS EN EL CONOCIMIENTO

  • Un Agente Basado en Conocimiento (ABC) es aquel sistema que posee conocimiento de su mundo y que es capaz de razonar sobre las posibles acciones que puede tomar para cambiar el estado de su mundo.
  • El ABC es un conjunto de sentencias, representado mediante un lenguaje de representación de conocimiento.

EL ABC consiste principalmente en:

2.1 Base del conocimiento:

  • Es un sistema de oraciones que representan hechos acerca del mundo, expresado en un algún lenguaje de representación del conocimiento.
  • Cada hecho está representado por una sentencia u oración
  • Siempre que se ejecuta el programa del agente basado en el conocimiento, sucede dos cosas:
    • El programa informa a la Base de Conocimiento lo que percibe.
    • El programa pregunta a la Base de Conocimiento qué hacer, luego graba la respuesta.
    • La pregunta se responde mediante el razonamiento lógico.

2.2 Motor de inferencia

  • Deduce nuevas oraciones o sentencias a partir de las oraciones almacenadas en la base de conocimiento y de las nuevas percepciones

Adición de nuevo conocimiento.

En la fig. 1 tenemos un esquema que representa el ABC.

Fig. 1 Esquema de representación del conocimiento

2.3 LENGUAJE DE LA REPRESENTACIÓN DEL CONOCIMIENTO
Virtualmente todos los lenguajes de representación del conocimiento se basan, de cierta manera, en lógica formal (lógica proposicional, lógica del predicado, lógica temporal)

2.4 LÓGICA

Una lógica es un sistema formal para describir lo que esta sucediendo en un momento determinado y que consta de:

Sintaxis : Reglas que explican cómo construir oraciones o sentencias legales
Semántica : Cómo las oraciones representan hechos en el mundo.

La semántica estudia el significado de los signos lingüísticos, esto es, palabras, expresiones y oraciones. Qué signos existen y cuáles son los que poseen significación esto es, qué significan para los hablantes, cómo los designan (es decir, de qué forma se refieren a ideas y cosas), y por último, cómo los interpretan los oyentes.

- Teoría : Reglas para inferir oraciones desde otras oraciones

Si la semántica y la sintaxis están definidas de manera precisa, se dice que el lenguaje es una lógica.










2.4.1 SINTAXIS

Un buen lenguaje de representación de conocimiento debe de combinar las ventajas de los lenguajes naturales (español, quechua, ingles, etc) y lenguajes formales(C, pascal, lisp, etc):

  • Debe ser lo suficiente expresivo y conciso para que nos permita expresar de manera sucinta todo lo que hay que decir.
  • Debe ser inequívoco (no ambiguo) e independiente del contexto para su interpretación.
  • Debe ser eficiente en el sentido de que debe existir un procedimiento de inferencia que permita obtener nuevas inferencias a partir de oraciones en nuestro idioma.

2.4.2 SEMÁNTICA

  • En lógica, el significado de una oración es aquello que se afirma del mundo, que el mundo sea de una forma.
  • Una vez que mediante la semántica se interpreta una oración, ésta puede ser cierta o falsa.
  • Una oración es cierta dentro de una interpretación determinada si el estado de asuntos que representa es cierta.
  • El significado de una oración depende tanto de la oración como del contexto en que se produce.

III LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional es una rama de la lógica clásica que estudia las proposiciones o sentencias lógicas, sus posibles evaluaciones de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad.

La lógica proposicional se preocupa por la manera de representar las cosas.

3.1 Proposición: se define una proposición como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediante letras.

3.2 SINTAXIS DE LA LÓGICA DE PROPOSICIONAL

Los patrones o expresiones de la lógica proposicional se construyen a partir de un alfabeto que consta de los siguientes símbolos:

  • Las constantes lógicas Verdadero ( ) y Falso (). También pueden ser V o F
  • Los símbolos de variables tales como P y Q.
  • Los conectivos lógicos Ù , Ú , Û , Þ , y Ø
  • Símbolos de puntuación: paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { } para evitar ambigüedades

Todas las oraciones se forman combinando los símbolos anteriores mediante ciertas reglas.

  • Las constantes lógicas Verdadero y Falso constituyen oraciones en sí mismas
  • Las variables proposicionales P, Q, R,… son oraciones
  • Encerrar entre paréntesis una oración produce también una oración, por ejemplo

(P Ù Q).

Combinar oraciones con los conectadores lógicos siguientes forma una oración

Oraciones: son Un conjunto de palabras con sentido gramatical.

  • La oración es la mínima unidad comunicacional, con significado completo.
  • La oración en la lógica, es la unidad de análisis fundamental.
  • Conjunción (Λ) (y). A la oración cuyo conector principal es Ù (y) se le llama conjunción, y a sus partes se les llama coyuntos.
  • Disyunción (V) (o). A la oración cuyo conector principal es Ú (o) se le llama disyunción, y a sus partes se les llama disyuntos.
  • Implicación (Þ ). Una oración como P Þ R se conoce como implicación (o condicional), su premisa o antecedente es P y su conclusión o consecuente es R. A las implicaciones también se les llama reglas o aseveraciones si-entonces.
  • Premisas. Son los antecedentes de una implicación.
  • Equivalencia.
    • Dos sentencias α y β son equivalentes lógicamente si es que son verdaderas con el mismo conjunto de hechos.
  • Negación (Ø ) (no).
    • A una oración como Ø P se le llama negación de P. Ø es el único de los conectores que funcionan como una sola oración.

3.3 EJERCICIOS

FORMALIZAR LOS RAZONAMIENTOS:

  1. " Si el resultado obtenido es superior al previsto en 5 unidades, será debido a no haber realizado el proceso a la temperatura adecuada o a la existencia de errores en los cálculos finales."

Solución

p = Resultado obtenido menor al previsto en 5 unidades.

q = Haber realizado el proceso a la temperatura adecuada.

r = Existencia de errores en los cálculos finales.

q rp

2) " El análisis realizado, innecesario si nos dejamos llevar por la precipitación, se torna necesario si nos paramos a reflexionar sobre el mensaje que se pretende transmitir."

solución

p = Análisis realizado es necesario.

q = Nos dejamos llevar por la precipitación.

r = Nos paramos a reflexionar sobre el mensaje que se pretende transmitir.

q pr p

3)" El cáncer no logrará curarse a no ser que se logre determinar su causa y se consiga encontrar fármacos adecuados o bien para prevenirlo o para curarlo."

solución

p = El cáncer logrará curarse.

q = Se logra determinar su causa.

r = Se consigue encontrar fármacos adecuados para prevenirlo.

s = Se consigue encontrar fármacos adecuados para curarlo.

q r sp

3.4 SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DEL PROPOSICIONAL

    • Una interpretación asocia cada variable proposicional con una proposición sobre el mundo. Porque las proposiciones son o verdades o falso, podemos también especificar una interpretación asignando los valores de verdad VERDAD y FALSO directamente a las variables proposicionales, sin importar qué proposición cada uno denota.
    • Cada conector lógico es definido por una tabla de verdad
      Dado una interpretación de las variables proposicionales, nosotros podemos utilizar una tabla de verdad para calcular el valor de verdad de cualquier oración bajo esa interpretación

En términos generales, una semántica permite atribuir un significado a las expresiones del lenguaje simbólico considerado. En el caso de un lenguaje de programación como C, esta semántica es procedural y consiste en describir el efecto que produce el programa sobre sus estructuras de datos. Para un lenguaje de representación, lo que interesa es capturar una descripción del universo modelado. La lógica permite hacer esto asignando un valor de verdad a cada expresión del lenguaje.

La semántica de un lenguaje proposicional depende

  1. De la interpretación de los conectivos lógicos, que tienen el mismo significado en todos los dominios,
  2. De los valores de verdad asignados a las variables proposicionales, distintos según la situación reflejada

3.5 TABLAS DE VERDAD

Se emplean en la lógica para determinar los posibles valores de verdad de una expresión o proposición. O si un esquema de inferencia, como argumento, es formalmente válido mostrando que, efectivamente, es una tautología.

La tabla de verdad de una sentencia es una tabla en la que se presentan todas las posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituyen la sentencia y el valor de verdad de la sentencia para cada interpretación.

Dado que en el cálculo proposicional se opera sólo sobre dos valores de verdad, para cualquier expresión existe un número finito de valuaciones posibles que se pueden tabular.

La tabla de verdad de una expresión con n variables proposicionales tiene 2n filas

Semántica

  • Negación Consiste en cambiar el valor de verdad de una variable proposicional.

p

V

F

F

V

  • Disyunción: La sentencia será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.

p

q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

  • Conjunción :La sentencia será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.

p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

  • Condicional

La sentencia será verdadera cuando se cumpla si es válido p entonces lo es q.

p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

  • Bicondicional

La sentencia será verdadera cuando ambas variables proposicionales sean iguales.

p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

  • Disyunción exclusiva

La sentencia será verdadera sólo cuando sólo una de las dos variables proposicionales sea verdadera, pero no las dos.

P

q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

3.6 EQUIVALENCIA LÓGICA

Dos formulas A; B se dicen equivalentes (se denota por B ó AB) si para toda interpretación I, se cumple que Vi (A)= Vi( B)

Teorema : A B si y sólo si la fórmula A B es válida

A continuación se presenta una tabla con una serie de equivalencias de uso común

1. Supresión de Implicación:

1.1

2. Contraposición:

2.1

3. Supresión de Doble Implicación:

3.1

4. Absorción:

5. Elemento neutro ( identidad)

    1. A V A
    2. A F A

5.3 A F F

5.4 A V V

6. Complementario- Contradicción

6.1 A A F

6.2 AA V

F V

V F

7. Idempotencia

8. Commutativa

9. Asociativa

10. Distributiva

11. De Morgan

12. Doble Negación

3.7 VALIDEZ E INFERENCIA

Los términos "razonamiento" e "inferencia" son utilizados para referirse a cualquier proceso mediante el que se obtienen conclusiones.

Las tablas de verdad sirven no solo para definir los conectores, sino también para probar la validez de las oraciones. Si se desea considerar una oración, se construye una tabla de verdad con una hilera por cada una de las posibles combinaciones de valores de verdad correspondientes a los signos proposititos de la oración. Se calcula el valor de verdad de toda la oración, en cada una de las hileras. Si la oración es verdadera en cada una de las hileras. La oración es valida.

Las tablas nos manifiestan los valores de verdad de cualquier proposición, así como el análisis de los mismos, encontrándonos con los siguientes casos:

  • Tautología o validez:

Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V.

  • Contradicción:

Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F

  • Contingencia (verdad indeterminada)

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, o no se tiene suficiente información para llegar a una conclusión

  • Satisfabilidad.

Si en la tabla de verdad se obtiene al menos una VERDAD

3.8 EJERCICIOS

  1. Determinar La Validez De La Siguiente oración compleja

    ((P Ú H) Ù Ø P ) Þ P

    Solución

    Respuesta: sí es valida

  2. Compruébese si los siguientes razonamientos son correctos o no:
    • Si no llueve salgo al campo. Si salgo al campo respiro. Por tanto, respiro si y sólo si no llueve."

    Respuesta:

    NO es válido, puedo salir al campo, lloviendo y respirar. Luego no se deduce que respire si y solo si no llueve.

      • Si ha nevado será difícil conducir. Si no es fácil conducir llegaré tarde si no salgo temprano. Ha nevado. Luego saldré temprano.

    Respuesta

    El razonamiento NO es válido porque puede darse el caso de NO salir temprano y llegar tarde habiendo nevado y siendo difícil conducir. Cumpliéndose todas las premisas.

    3.9 REGLAS DE INFERENCIA

    • Existen ciertos patrones de inferencia que se presentan una y otra vez, lo que permite establecer de una vez por todas su confiabilidad.

    • La regla permite evitar pasar por las tablas de verdad.

    1. Modus ponens o implicación-Eliminación:

      A partir de una implicación y la premisa de la implicación, se puede inferir la

      conclusión.

    2. Y- Eliminación: (eliminación de ^ )

      A partir de una conjunción se puede inferir cuales son los coyuntos(elementos)

    3. Y- Introducción (Introducción del ^)

      A partir de una lista de oraciones es posible inferir su conjunción

    4. O- Introducción (Introducción del Ú )

      A partir de una oración es posible inferir su disyunción con todo lo demás.

    5. Eliminación de la doble negación:

      A partir de una oración doblemente negada, es posible inferir una oración positiva

    6. Resolución unitaria

      A partir de una disyunción, si uno de los disyuntos es falso, entonces se puede inferir que el otro es verdadero.

    7. resolución:

    Es la mas difícil. Puesto que B no puede ser al mismo tiempo verdadera ni falsa, uno de los otros disyuntos debe ser en una de las premisas. O también, que la implicación es transitiva.

    3.10 EJERCICIOS

    • Utilice la tabla de verdad para determinar para demostrar que la siguiente oración es valida y que por lo tanto la equivalencia es correcta

    P^ (q rp ^ q) ( p^ r)]

    p

    q

    r

    P ^ (q r) p ^ q) ( p^ r)

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    F

    F

    V

    V

    V

    V

    F

    V

    F

    F

    V

    V

    F

    F

    F

    F

    V

    F

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    F

    F

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    F

    F

    V

    V

    F

    F

    V

    V

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    V

    F

    F

    F

    F

    V

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    V

    F

    F

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    V

    V

    F

    F

    V

    F

    F

    TAUTOLOGIA

    Por tanto: P^ (q r) [p ^ q) ( p ^ r)], Es válida y equivalente

    • Haciendo uso de la lógica equivalente simplificar las siguiente proposición

    • ( P ^ q)

    ( P ^ q )

    P ^ ( q q) ................................R. Distributiva(10.2)

    P ^ ( V ) .........................R. Complementaria (6.2)

    P ...................................R. Identidad (5.1)

    • Haciendo uso de las reglas de inferencia Demostrar que :

    p q q p

    1. p q Premisa

    2. q Regla. Eliminación de ^ (1)

    3. p Regla. Eliminación de ^ (1)

    4. q p Regla. Introducción del 2,3)